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如何用一张1×1的纸折出正七边形?

更新时间:2019-09-10

  (Origamics)这块新奇的数学领域,学习之余不禁感叹,原来真的有人把折纸这件事研究到了骨子里。如果把欧式几何的奠基之作《几何原本》比做是几何学的一处根基,那么折纸几何学就是这棵树上开出的一朵奇葩。

  就像传统几何学对应了尺规作图(ruler and compass construction)一样,折纸几何学引导我们找到了另一种基础作图的方法——折纸作图。

  和它的名字一样,我们的工具就是一张白纸,大多时候是一张1×1的白纸,除此之外再无其它。与尺规作图比起来,折纸作图好像更加极致,干脆把尺子和圆规都扔了,甚至连笔也不给你,只留下一张白纸,你竟然还指望我作什么图出来?

  众所周知,传统的尺规作图并不是万能的。在《初等几何的著名问题》一书中,数学家F.Klein就详细讲述了初等几何的三大难题:

  1.倍立方问题。又叫Delian 问题,是一个非常古老的几何问题。它说的是:如何准确作出一个体积为2的立方体。其实就是要找到长度x,让

  但是,要找到,仅凭尺规作图是不可能完成的。你也许会想,是不是我们还不够聪明,没有找到作图的办法呢?并不是这样,实际上数学家早就已经严格证明了这种不可能性,这个任务是从理论层面上就不可能完成的。

  我们发现,要准确地作出这个数,我们需要一个可以移动的直角刻度尺,这种用直角尺作图的方法叫做二刻尺作图(Neusis construction)。再看看我们的主题,思考一下。是的!我们手上这张1×1的白纸,就正好就有这样一个直角。用折纸的方法,我们可以轻易得到两条线段,让它们的比值正好等于。

  同样地,传统尺规作图又一次败下阵来,但是用一张1×1的白纸,你却可以简单地得到一条过角顶点的射线,它对应的就是原始角度的三分之一。

  3. 最后一个难题是化圆为方问题,它说的是:作出一个正方形,它的面积等于给定的圆的面积。

  这个问题同样困扰了全世界上千年,当人们还在为它的可行性争论不休的时候,1882年,德国数学家林德曼(Lindemann 1852~1939)证明了圆周率 π 的超越性(不满足任何整系数(有理系数)多项式方程的实数)。尺规作图局限于加减乘除和开方运算,对于超越数显然是无能为力的。

  这下可好,回到化圆为方问题里,由于涉及到超越数(transcendentalnumber)π,传统的尺规作图和折纸作图必定无法解决,持续了上千年的争论终于尘埃落定。

  用传统尺规作图的办法,我们可以画出标准的正三角形,正方形,正五边形,正六边形,正八边形等等。Rex还隐约记得初中时候,数学老师曾说他的朋友研究出了尺规作出正十七边形的办法,查阅资料之后却发现,早在1796年,高斯就已经给出了正十七边形的尺规作图步骤,还顺带证明了哪些正多边形可以用尺规作图完成。不得不叫人感叹数学王子的伟大。

  根据证明,角度刁钻的正七边形是没有办法用尺规作图画出来的,因为它的边长涉及到常数sin(π/7),和一样,这是一个需要用三次方根来表示的数。那么,折纸作图可以解决这一难题吗?答案是肯定的。

  虽然折纸作图可以表达出三次方根的数,但是要想得到完整的正七边形也绝非易事。折纸的过程之复杂,简直是Rex这种手残党的噩梦,大概我把纸折烂了也得不到那个完美的正七边形吧。

  高斯证明,尺规作图只能作出正n边形,这里n是费马质数,即n=2^(2^k)+1。

  要知道,香港财神爷图库77099,17之后的费马质数就是257和65537,历史上也线边形,一位叫做 Johann Gustav Hermes 的人花了10年时间才首次完成了作图步骤,其手稿加起来共有200余页。


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